「三体问题」无解吗?为什么?

2024-01-24 12:00:07
'特定情形下,三体问题是可解的,甚至某些特解非常简单。但是一般而言,三体问题不存在解析通解,即,我们无法用代数表达式写出任意构型下三体问题的通解。二体问题的约化要了解三体问题,首先可以从二体问题开始。二体问题,顾名思义,研究的是两个物体在彼此相互作用下的运动,例如只考虑地球和月亮在彼此万有引力下的运动,就可以抽象为一个二体问题。将两个天体看作质点,设其质量分别为 m_1 和 m_2 ,初始位置分别'

特定情形下,三体问题是可解的,甚至某些特解非常简单。但是一般而言,三体问题不存在解析通解,即,我们无法用代数表达式写出任意构型下三体问题的通解。

二体问题的约化

要了解三体问题,首先可以从二体问题开始。

二体问题,顾名思义,研究的是两个物体在彼此相互作用下的运动,例如只考虑地球和月亮在彼此万有引力下的运动,就可以抽象为一个二体问题。将两个天体看作质点,设其质量分别为 m_1m_2 ,初始位置分别为 \vec r_1\vec r_2 ,初始速度分别为 \vec v_1\vec v_2 ,根据牛顿运动定律,可以得到:

\vec F_{12}=m_1 r_1''

\vec F_{21}=m_2 r_2''

到此,我们写出了二体问题遵循的运动方程,剩下的问题便是解这组方程了。

使用高中物理中常用的质心的概念,可以将二体问题分解为质心的运动和两个天体相对于质心的运动。

质心的位置为: r_心=(m_1\vec r_1+m_2\vec r_2)/(m_1+m_2)

质心的运动是一个单体问题,而在质心坐标系下,两个天体对于质心的运动可以用两个天体之间的相对位移来描述,即

r_{相对}=\vec r_1-\vec r_2

r''_{相对}=(1/m_1+1/m_2)F_{12}

此处又变成了一个单体问题。所以,二体问题本质上可以理解为两个独立的单体问题的结合,分别求解这两个单体问题即可得到二体问题的解。

由于求解单体问题是比较容易的,因此二体问题作为可解问题,远远不如“表哥”三体问题名气大了。

三体问题溯源

时间回到1885年,学数学出身的瑞典国王奥斯卡二世赞助了一场有奖数学竞赛,竞赛的题目是4个数学难题,其中之一便是多体问题——求解太阳系的运动问题。

这一难题从牛顿时代提出直到竞赛发布之时,在学术界始终无人能攻克。众多数学物理大师先后折戟沉沙铩羽而归,甚至牛顿力学的奠基人牛顿本人,也只能写出其运动方程,然后在求解的过程中失去信心,认为这是“人类智力不可胜任的任务”。

面对被牛顿认为达到了人类不可解这种级别的难题,刚刚而立之年的庞加莱并没有退缩,他把问题进行了一些简化,只考虑三个星体,归纳为著名的“三体问题”。此后庞加莱奋笔疾书,在比赛提交的论文里发明了一种方法,可以求解任意精度的三体运动轨迹。

不久,赛事方接收了庞加莱的论文,审阅之后认可了他的解答,并给他发了比赛奖金,之后着手把这篇“旷世奇文”刊登在学术期刊上。就在这时,庞加莱发现,自己的解答错了。这下子事情就比较尴尬了。

庞加莱不得不支付了召回杂志等一系列补救措施的费用,虽然奖金并没有被收回,但是最后算下来,庞加莱还是亏了不少小钱钱的。

虽然参加比赛赢了奖金却亏了更多钱,但庞加莱还是在这个过程中收获了很多东西,比如,他提出了相图理论,并最终开创了混沌这一数学分支。庞加莱发现,一般性的三体问题往往是混沌的,即,如果两个三体系统的初始条件即使仅有一点点微小的不同,在后续的演化过程中,两个系统的动力学状态会产生巨大的不同。

混沌系统是确定的,例如三体系统的运动方程是可以用牛顿力学精确写出来的,三体问题在动力学上是确定的,没有随机性。但是混沌系统是不可预测的,因为初始条件的一点微小差别,会导致其之后运动状态的巨大不同,演化时间的增加会放大初值的微小扰动,导致我们无法判断其长期的轨迹。

这一切仿佛上帝开的一个天大的玩笑:我们可以写出它的方程,给定一个初始条件,我们甚至知道它的轨迹是确定的,但我们还是无法预测。

就像一座山,山就在那里,但触不可及,撩拨着探索者的心弦。

代数不可解与数值不稳定

三体问题的“不可解”体现在几个方面:

1、对于一般性的三体问题,无法写出一个解析通解。

我们没办法找到一个类似单体问题通解那样的数学表达式来描述三体问题。可能有小伙伴会问,是不是随着数学的发展,人们就能找到这样的代数表达式呢?

其实也是不可以的。在二体问题的分析中,我们已经知道,在三维空间有x,y,z 3个自由度,因此每一个天体可以写出3个二阶微分方程,如果改写成一阶微分方程,那就是6个。对于三体问题,就会得到18个一阶微分方程。求解三体问题,等价于解这个18个一阶微分方程构成的复杂的方程组。1941年,西格尔从数学上证明了,不可能找全这18个代数积分。所以,代数角度求积分来解三体问题的道路,已经被证明完全不通了。

2、对三体问题的数值解,会面临混沌的初值敏感问题。

既然直接代数积分找解析解行不通,那么为什么不用强大的超级计算机来求数值解呢?在很多领域,只要数值解精度足够,是可以胜任解析解的任务的。

虽然人们通过计算机来试图“开挂”,但是三体问题更狡猾,它是混沌的!

混沌系统的一大特点便是对初值敏感,如果给计算机的初始条件有一点小小的误差,例如我们想研究B612星球、赛博坦星球和奥特之星构成的三体问题,如果在输入程序的初始条件时,迪迦的战斗光线影响了天文望远镜对奥特之星速度的观测,导致了一个小小的误差,之后在经过一段时间的计算机模拟演化后,很可能算出一个和现实偏差巨大的结果,俗话说便是,“失之毫厘,谬以千里”。

迪迦:计算误差让我回不了家了

于是一些小伙伴有疑惑了,如果我换用更精确的数值积分方法是不是就可以了呢?欧拉方法只取一阶不够精确,我换三阶龙格库塔法,甚至四阶龙格库塔法,不行再用更高级的积分方法......

很遗憾,并不是这样的。三体问题在数值上是“病态的”,即问题对初值敏感,就像“蝴蝶效应”一样,蝴蝶扇动翅膀的微扰都有可能造成一场龙卷风级别的计算偏差。病态问题是其数学上内禀的性质决定的,和计算方法无关,换积分算法并不能解决计算的不稳定性问题。

特解

一般的三体问题是没有解析通解的,但这不妨碍在某些特定构型下,三体问题有解析解,甚至是非常直观而简单的解析解。为什么呢?因为特解要求初始条件具有某些限制条件,例如保持一定的对称性,或者初速度具有某种规律。这些条件其实是对一般性三体问题的约束,增加约束可以减少问题的自由度,当自由度足够少,便可以解析求解了。

第一种存在特解的情况便是,把三星摆在一条直线上,然后让两边的星体围绕中间的星体做圆周运动。

其次可以把三星摆在等边三角形的三个顶点上,让它们围绕三角形中心做圆周运动。

稍复杂一点的构型是将它们摆在8字型轨道上,也可以使用解析表达式对其运动进行描述,如下图:

图源网络
图源网络

更多的特解不再一一列举。

三体问题是混沌的,对于其短期内的动力学轨迹,我们可以使用数值方法进行模拟,甚至可以达到非常高的精度。但是对于其长期的动力学轨迹,解析解已经不奢望了,数值解也只能参考参考,就像第二天的天气预报往往很准确,但是15天后的天气预报往往只能参考参考。也许,屏幕前的你打了个哈欠,就能影响地球某个地方未来的天气呢~

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从上世纪 60 年代起,科学家用统计方法预测出非层级三体系统(三个体质量没有等级差距),在经过足够长的时间后总会有一个体逃逸出去,衰变成二体系统。

放在小说里,就是三体星人只要等的足够久,就会有一个太阳“被甩出去”。

而最新研究已得出非层级三体问题的统计学解

三体问题难在哪里?

三体问题,最初由牛顿提出。

当时,在用万有引力定律解释了行星(如地球)如何绕太阳运动的“二体问题”后,牛顿又想到了一个进阶问题:

在太阳和地球的双重影响下,月球如何绕地球运动?

于是,他在《自然哲学的数学原理》中提出了三体问题:

三个可以视为质点的天体,在其相互之间的万有引力作用下,应该如何运动?

牛顿的经典力学,描述了一个决定论的世界。拉普拉斯曾断言:“只要知道宇宙中所有粒子的当前位置和速度,原则上就有可能预测任何时刻的情况。”

本以为只是二体问题之上再加一个体而已,很快就能解决。

没想到,牛顿根本找不到这个问题的通用解

几代科学家经过努力,也只找出三体问题在一些限制条件下的特殊解

例如位于非等边三角形顶点的三个等质量质点,在初速度为 0 时的运动规律,几乎毫无章法。

牛顿之后,欧拉、拉格朗日、泊松等许多数学家都向三体问题发出挑战,但依然找不出它的通用解。

其实,早期的科学家根本没有意识到,他们试图解决的三体问题难度有多么恐怖。

直到 1885 年,瑞典数学杂志 Acta Mathematica 举办了一次国际数学大赛,其中第一道题是比三体问题还难的N 体问题

对于一个根据牛顿定律相互吸引的多质点系统,假设没有两点发生过碰撞,请找出各点坐标在已知时间函数中的序列展开,在任意时间段内均匀收敛。

翻译一下就是:太阳系稳定吗?会把我们的地球甩出去吗?

时年 29 岁的法国数学家庞加莱接受了这一挑战。二体问题此前已被牛顿解决,于是庞加莱从限定条件下的三体问题入手:

假设其中两个质点的质量足够大,使得第三个质点的质量对前两个不造成影响(有点像是研究两个行星和一粒灰尘之间的相互作用)。

这还不够,再把它们的运动都限制在同一个平面上。

△庞加莱手稿

怎么样,够简化了吧。

可是庞加莱用了整整三年时间也没得出完整结果,只是解出了一些特殊情况。最后赶在大赛截止日期前提交了论文,还成功胜出,领到了奖金,美滋滋。

△庞加莱

然而在论文出版之前,审稿人对论文的某一部分看不太明白,写信向庞加莱请教。

庞加莱细化自己的论证时,却发现了致命错误,赶紧联系出版社撤回已经印刷的论文,又把奖金全赔进去了。

在修订论文的过程中,庞加莱发现了三体系统对初始条件的敏感依赖性。

即使完全知道了运动的规律,初始条件的细微差别,有时也会造成系统随后运动的极大不同,使长期预测变得不可能

这个现象后来被称为混沌

这就是《三体》小说中三体人面临的生存难题了——

在那个世界中,太阳有 3 个

由于三个太阳运动轨迹的混沌性,三体人会遭遇昼夜季节无规律更替的“乱纪元”,极端天气带来严苛的生存环境让三体文明不断地毁灭。

现实地球上的天气变化虽然没那么危险,但也是混沌系统。

气象学家洛伦兹用“蝴蝶效应”来解释这种现象,即蝴蝶扇动翅膀造成初始条件的微小差异,经过时间的放大都会造成剧烈的变化。

后来,有了计算机的帮助,科学家们能够计算出更多三体问题中,一些存在周期性的特殊解。

如 2017 年,来自上海交大的研究团队就利用超级计算机,一口气发现了600 多个全新的周期解。

但三体问题的通用解,还笼罩在混沌的阴影下。

用统计方法研究三题问题

既然是混沌系统,那就没办法了。

但并不意味着“三体系统”就研究不了——

这不,还有统计学嘛。

统计力学的著名科学家路德维希·玻尔兹曼,在 1871 年曾经提出过一个假说:

各态历经假说(ergodic hypothesis):一个孤立系统从任一初态出发,经过足够长的时间后,将经历一切可能的微观状态。

△双摆系统,混沌系统之一

孤立系统,从热力学角度来说,指不与外界交换能量或质量的系统。

只要时间够长,这种系统中所有可能的状态都会发生。

在这个前提下,加上计算机和计算物理学的发展,苏联科学家在 20 世纪 60 年代有了新的突破。

对于由质量无等级差距的三个物体形成的“非层级三体系统”,有一个状态是最可能发生的——

其中一个体最终会逃逸出去,另外两个演变成规律运动、可预测的“双星”系统。这个过程被称作三体系统的衰变(Decay)。

△就像这样

不禁让人想到这个场景……(手动狗头)

就这样,研究的目标变成了“三体问题的统计预测是怎样的”。

之后的研究发展并完善了使用相空间(Phase Space)来描述三体系统状态的方法。(相空间是一个假想的空间,系统每个可能的状态都对应相空间中的一个点)

时间来到 2019 年,来自希伯来大学的 Nicholas Stone 等人,终于在此基础上得出了非层级三体问题的统计学闭合解

然而,这项研究还有一些瑕疵。

按照牛顿的理论,引力是无距离限制的。导致描述三体系统状态的相空间的体积也是无限的。

Stone 团队人为假设了一个“强相互作用区域”来解决这个问题。

还有,用相空间体积来确定概率,从而忽略了相空间的相当一部分区域描述的是有规律、可预测的运动情况,其中包括系统衰变后剩下二体的运动。

△特定初始条件下的规则运动

同样来自希伯来大学的物理教授 Barak Kol,将研究对象聚焦在系统衰变时相空间的流出通量(Outgoing Flux)上,而不是相空间本身。

这样即使相空间是无限的,其通量也是有限的,就无需引入假设的强相互作用区域了。

Kol 团队还补充了统计演化模型来计算系统衰变,可以呈现为下面这张管道图。

从图中来看,三体系统的运动状态可以分成两种,规则(regular)和遍历(ergodic),其中遍历的情况要明显多于前者。

而逃逸的情况,也同样分成两种,逃逸(escape)和偏移(sub-escape)。

Kol 团队把三体系统的状态变化类比成在一个有光滑反射壁和一个小孔的瓶子里不断反射。

在经过一段时间后,从小孔脱离遍历的系统状态会进入“逃逸”或是“偏移”。

用这种统计方法预测的质点逃逸概率,比 2019 年和 2006 年的两项研究所做的统计预测,都要更接近数值模拟值。

下图是三个“三体”星系的质量,以及它们逃逸的概率预测(其中 M☉是太阳质量,约为 2×10³º千克)。

其中,“统计预测 1”是这次研究的预测结果。

从图中可见,相比于其他两项最新研究,这一研究的统计预测结果,都更加贴合用“数值模拟”计算所得到的质点逃逸率。

当然,从图中也能看出,质量更小的质点更容易发生“逃逸”情况。

对于这项研究给出的统计方法,论文作者、物理教授 Barak Kol 表示:

在数百万台计算机上进行的模拟测试表明,这一理论所计算的结果,和计算机模拟的结果高度符合。

希伯来大学出品

这次的论文作者 Barak Kol,是以色列希伯来大学的一名物理教授,曾于斯坦福大学获得物理博士学位,还在特拉维夫大学、普林斯顿大学从事过博士后工作。

PS,如果想要自己制作“三体”模拟动画的话,还可以用文末的Universal Sandbox游戏试试~

可在任意位置添加天体,并修改质量、体积等属性,然后观察运动轨迹。

论文地址: link.springer.com/artic

上海交大 600 个三体特殊解动画: numericaltank.sjtu.edu.cn

Universal Sandbox: store.steampowered.com/

参考链接:

[1]mittag-leffler.se/libra [2]mathematica.stackexchange.com

[3]phys.org/news/2021-y-th [4]nature.com/articles/s41

[5]arxiv.org/abs/2101.0366

—完—

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